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创¥@纪-数²z统计

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¤]«D±`¨ã¦³数学ªº¬ü·P¡C¨ä标­ã¤Æ¦Zªº·§²v±K«×¨ç数

§ó¥[ªº简Ï¡º}«G,两个³Ì­«­nªº数学±`¶q \pi, e³£¥X现¦b¤F¤½¦¡¤§¤¤¡C¦b§Ú个¤Hªº审¬ü¤§¤¤¡A¥¦¤]属¤_ top-N ªº³Ì¬ü丽ªº数学¤½¦¡¤§¤@¡A¦pªG¦³¤H问§Ú数²z统计领°ì­þ个¤½¦¡³Ì¯à让¤H·P觉¨ì¤W«Òªº¦s¦b¡A¨º§Ú¤@©w§ë¥¿态¤À¥¬ªº²¼¡C¦]为这个¤À¥¬À¹着¯«¯µªº­±纱¡A¦b¦ÛµM¬É¤¤无处¤£¦b¡A让§A¦b纷Ác芜杂ªº数Õu­I¦Z¬Ý¨ì隐隐ªº¯´§Ç¡C



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ªº荣誉¡C¥h过¼w国ªº¥S§Ì们还会发现¡A¼w国ªº钢镚©M10马§Jªº纸币¤W³£¯d¦³°ª´µªº头¹³©M¥¿态±K«×¦±线¡C¥¿态¤À¥¬³Q«a¦W°ª´µ¤À¥¬¡A§Ú们¤]®e©ö认为¬O°ª´µ发现¤F¥¿态¤À¥¬¡A¨ä实¤£µM¡A¤£过°ª´µ对¤_¥¿态¤À¥¬ªº历¥v¦a¦ìªºÚ̥߬O°_¨ì¤F决©w©Êªº§@¥Î¡C




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²Ä¤@个¬G¨Æ©M·§²v论ªº发®i±K¤Á¬Û关¡A¥D¨¤¬O´Ð²ö¥±(De Moivre) ©M©Ô´¶©Ô´µ(Laplace)¡C

©Ô´¶©Ô´µ¬O个¤j¬ì学®a¡A³Q称为ªk国ªº¤û顿¡F´Ð²ö¥±¦WÉa¥i¯à¤£ºâ«Ü¤j¡A¤£过¤j®a应该³£¼ô±x这个¦W¦r¡A¦]为§Ú们¦b°ª¤¤数学学Î`数ªº时­Ô§Ú们³£学过´Ð²ö¥±©w²z(cos\theta + i sin\theta)^n = cos(n\theta) + i sin(n\theta)¡C

¥j¨å·§²v论发·½¤_赌³Õ¡A´f§ó´µ¡B©¬´µ¥d¡B费马¡B贝§V¤O³£¬O¥j¨å·§²vªº³þ°ò¤H¡A¥L们¨º会¬ã¨sªº·§²v问题¤j³£来¦Û赌®à¤W¡A³Ì¦­ªº·§²v论问题¬O赌®{±ö²Ö¦b1654¦~¦V©¬´µ¥d´£¥Xªº¦p¦ó¤À赌ª÷ªº问题¡C统计学¤¤ªº总Ê^§¡­È¤§©Ò¥H³Q称为´Á±æ(Expectation), ´N¬O·½¦Û´f§ó´µ¡B©¬´µ¥d这¨Ç¤H¬ã¨s¥­§¡±¡况¤U¤@个赌®{¦b赌®à¤W¥i¥H´Á±æ¦Û¤v赢±o¦h¤Ö钱¡C

¦³¤@¤Ñ¤@个­ô们¡A¤]许¬O个赌®{¡A¦V´Ð²ö¥±´£¤F¤@个©M赌³Õ¬Û关
ªº¤@个问题¡GA,B 两¤H¦b赌场¨½赌³Õ¡AA¡AB¦U¦Ûªº获Ð`·§²v¬Op, q=1-p,赌 n §½¡A­Y A 赢ªº§½数 X > np, 则 A ¥I给赌场 X-np¤¸¡A§_则B ¥I给赌场 np-X¤¸¡C 问赌场挣钱ªº´Á±æ­È¬O¦h¤Ö¡C

问题¦}¤£Î`杂¡A ¥»质¤W¬O¤@个¤G项¤À¥¬¡A³Ì¦Z¨D¥Xªº²z论结ªG¬O

¨ä¤¤ b(n,p,i) = \binom{n}{i}p^iq^{n-i}¬O±`见ªº¤G项·§²v¡C ¦ý¬O对¨ãÊ^ªº n, ­n§â这个²z论结ªG实际计ºâ¥X数­È结ªG¥i¤£®e©ö¡A ¦]为¨ä¤¤ªº¤G项¤½¦¡¤¤¦³组¦X数.这´N驱动 De Moivre寻§äªñ¦ü计ºâªº¤èªk计ºâ¡C

ÉO¦¹¬Û关联ªº¥t¤@个问题¡A¬O¿í从¤G项¤À¥¬ªº随Éó变¶q X \sim B(n,p), ¨DX ¸¨¦b¤G项¤À¥¬¤¤¤ß点¤@©w­S围ªº·§²v P_d = P(|X - np| \le d)

对¤_ p=1/2 ªº±¡§Î¡A ´Ð²ö¥± °µ¤F¤@¨Ç计ºâ¦}±o¨ì¤F¤@¨Çªñ¦ü结ªG¡A¦ý¬O还¤£够º}«G¡A©¯运ªº¬O ´Ð²ö¥± ©M Stirling 处¦b¦P¤@个时¥N¡A ¦Ó¥B¤G¤H¤§间¦³联¨t¡AStirling ¤½¦¡¬O¦b数学¤ÀªR¤¤¥²学ªº¤@个­«­n¤½¦¡



1733 ¦~¡A´Ð²ö¥±«Ü§Ö§Q¥Î Stirling ¤½¦¡计ºâ¨ú±o¤F­«­nªº进®i¡C¦Ò虑 n ¬O°¸数ªº±¡§Î¡A¥O¤G项·§²v

³q过 Stirling ¤½¦¡°µ¤@¨Ç简单ªº计ºâ®e©ö±o¨ì¡A




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¨Ï¥Î¤W¦¡ªº结ªG¡A¦}¦b¤G项·§²v²Ö¥[¨D©Mªº过µ{¤¤ªñ¦üªº¨Ï¥Î©w积¤À¥N´À¨D©M¡A«Ü®e©ö´N¯à±o¨ì



¬Ý¡A¥¿态¤À¥¬ªº±K«×¨ç数ªº§Î¦¡¦b积¤À¤½¦¡¤¤¥X现¤F¡I这¤]´N¬O§Ú们¦b数²z统计课¥»¤W学¨ìªº¤G项¤À¥¬ªºÌå­­¤À¥¬¬O¥¿态¤À¥¬¡C

¥H¤W¥u¬O讨论¤F p=1/2ªº±¡§Î¡A ´Ð²ö¥±¤]对 p \ne 1/2°µ¤F¤@¨Ç计ºâ¡A¦Z来©Ô´¶©Ô´µ对 p \ne 1/2ªº±¡况°µ¤F§ó¦hªº¤ÀªR¡A¦}§â¤G项¤À¥¬ªº¥¿态ªñ¦ü±À广¨ì¤F¥ô·N pªº±¡况¡C 这¬O²Ä¤@¦¸¥¿态±K«×¨ç数³Q数学®a¤Ä画¥X来¡A¦Ó¥B¬O¥H¤G项¤À¥¬ªºÌå­­¤À¥¬ªº±¡§Î³Q±À导¥X来ªº¡C ¼ô±x°ò础·§²v统计ªº¦P学们³£ª¾¹D这个结ªG¨ä实¥s´Ð²ö¥±-©Ô´¶©Ô´µ¤¤¤ßÌå­­©w²z¡C

[De Moivre-Laplace ¤¤¤ßÌå­­©w²z]
设随Éó变¶q X_n (n=1,2,\cdots)ªA从参数为 pªº¤G项¤À¥¬¡A则对¥ô·Nªº x, ùÚ¦³


§Ú¦b¤j学学习数²z统计ªº时­Ô¡A学习ªº过µ{³£¬O¥ý学习¤F¥¿态¤À¥¬¡AµM¦Z¤~学习¤¤¤ßÌå­­©w²z¡C¦Ó学习¨ì¥¿态¤À¥¬ªº时­Ô¡Aª½±µ´N´y­z¤F¨ä·§²v±K«×ªº数学§Î¦¡¡A虽µM数学¤W«Üº}«G¡A¦ý¬O当时«Ü§x´b数学®a们¬O¦p¦ó凭ªÅ´N§ä¨ì这个¤À¥¬ªº¡CµM¦Ó读¤F陈§ÆÀ©ªº¡m数²z统计学简¥v¡n¤§¦Z¡A¤~发现¥¿态¤À¥¬ªº±K«×§Î¦¡­º¦¸发现¬O¦b´Ð²ö¥±-©Ô´¶©Ô´µªº¤¤¤ßÌå­­©w²z¤¤¡C数学®a¬ã¨s数学问题ªº进µ{«Ü¤Ö¬O«ö·Ó§Ú们数学课¥»ªº¦w±Æ顺§Ç±À进ªº¡A现¥Nªº数学课¥»³£¬O«ö·Ó数学内¦bªº逻辑进¦æ组织编±Æªº¡A虽µM逻辑结ÌÛ¤W严谨ɬ¬ü¡A却§â数学问题¬ã¨sªº历¥v²ª迹©Ù±o¤@¤z¤G净¡A§Ú们难¥H¦b数学课¥»¤W¬Ý¨ì数学®a对数学问题¬O¦p¦ó¬ã¨s±À进ªº¡CDNA 双Á³±Û结ÌÛªº发现ªÌ¤§¤@ Waston ¦b¥Lªº¦WµÛ¡mDNA 双Á³±Û¡n§Ç¨¥¤¤说¡G¡§¬ì学ªº发现«Ü¤Ö会¹³门¥~汉©Ò·Q¶Hªº¤@样¡A«ö·Óª½±µ¤F当¦X¥G逻辑ªº¤è¦¡进¦æªº¡C¡¨

´Ð²ö¥± ¥X¥Lªº发现¦Z40¦~¡]¤j约¬O 1770¡^¡A ©Ô´¶©Ô´µ«Ø¥ß¤F¤¤¤ßÌå­­©w²z较¤@¯ëªº§Î¦¡¡A¤¤¤ßÌå­­©w²z¦Z续¤S³Q¨ä¥¦数学®a们±À广¨ì¤F¨ä¥¦¥ô·N¤À¥¬ªº±¡§Î¡A¦Ó¤£­­¤_¤G项¤À¥¬¡C¦Z续ªº统计学®a发现¡A¤@¨t¦Cªº­«­n统计¶q¡A¦b样¥»¶q N 趋¤_无穷ªº时­Ô¡A ¨äÌå­­¤À¥¬³£¦³¥¿态ªº§Î¦¡¡A 这ÌÛ¦¨¤F数²z统计学¤¤¤j样¥»²z论ªº°ò础¡C

´Ð²ö¥±¦b¤G项¤À¥¬ªº计ºâ¤¤¿h见¤F¥¿态¦±线ªº¼Ò样¡A¤£过¥L¦}没¦³¯à®i现这个¦±线ªº¬ü§®¤§处¡C´Ð²ö¥±ªº这个¤u§@当时¦}没¦³¤Þ°_¤H们¨¬够ªº­«视¡A­ì¦]¦b¤_´Ð²ö¥± ¤£¬O个统计学®a¡A从¥¼从统计学ªº¨¤«×¥h¦Ò虑¨ä¤u§@ªº·N义¡C ¥¿态¤À¥¬(当时¤]没¦³³Q©R¦W为¥¿态¤À¥¬) ¦b当时¤]¥u¬O¥HÌå­­¤À¥¬ªº§Î¦¡¥X现¡A¦}没¦³¦b统计学¡A¤×¨ä¬O误®t¤ÀªR¤¤发挥§@¥Î¡C这¤]´N¬O¥¿态¤À¥¬³Ì终没¦³³Q«a¦W ´Ð²ö¥±¤À¥¬ªº­«­n­ì¦]¡C ¨ºGauss °µ¤FÔ£¤u§@导­P统计学®a§â¥¿态¤À¥¬ªº这顶®Û«aÀ¹¦b¤F¥Lªº头¤W©O¡H这¥ý±o从³Ì¤p¤G­¼ªkªº发®i说°_¡C¤U¦^¤À¸Ñ:-)
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²Ä¤G个¬G¨Æªº¥D¨¤¬O欧©Ô(Euler), ©Ô´¶©Ô´µ(Lapalace),°Ç让¼wLegendre) ©M°ª´µ(Gauss),¬G¨Æ发¥Íªº时间¬O¤Q¤K¥@纪¤¤¨ì¤Q¤E¥@纪ªì¡C¤Q¤C¡B¤Q¤K¥@纪¬O¬ì学发®iªº黄ª÷¦~¥N¡A·L积¤Àªº发®i©M¤û顿ÉE¦³¤Þ¤O©w«ßªº«Ø¥ß¡Aª½±µªº±À动¤F¤Ñ¤å学©M测¦a学ªº¨³²r发®i¡C当时ªº¤j¬ì学®a们³£¦b¦Ò虑许¦h¤Ñ¤å学¤Wªº问题¡C¤L个¨å«¬ªº问题¦p¤U¡G

¤g¬P©M¤ì¬P¬O¤Ó阳¨t¤¤ªº¤j¦æ¬P¡A¥Ñ¤_¬Û¤¬§l¤Þ对¦U¦Ûªº运动轨¹D产¥Í¤F¼v响¡A许¦h¤j数学®a¡A¥]¬A欧©Ô©M©Ô´¶©Ô´µ³£¦b°ò¤_长´Á积²Öªº¤Ñ¤å观测数Õu计ºâ¤g¬P©M¤ì¬Pªº运¦æ轨¹D¡C
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¥H¤W¯A¤Îªº问题¡A§Ú们ª½±µ关¤ßªº¥Ø标¶q©¹©¹无ªkª½±µ观测¡A¦ý¬O¤@¨Ç¬Û关ªº¶q¬O¥i¥H观测¨ìªº¡A¦Ó³q过«Ø¥ß数学¼Ò«¬¡A³Ì终¥i¥H¸Ñ¥X§Ú们关¤ßªº¶q¡C这¨Ç¤Ñ¤å学ªº问题¤jÊ^³£¥i¥H转换为´y­z¦p¤Uªº问题¡G¦³§Ú们·Q¦ô计ªº¶q \beta_0,\cdots,\beta_p, ¥t¦³­Y¤z个¥i¥H测¶qªº¶q x_1,\cdots,x_p, y, 这¨Ç¶q¤§间¦³线©Ê关¨t


¦p¦ó³q过¦h组观测数Õu¨D¸Ñ¥X参数\beta_0,\cdots,\beta_p©O¡H 欧©Ô©M©Ô´¶©Ô´µªö¥Îªº³£¬O¨D¸Ñ线©Ê¤èµ{组ªº¤èªk¡C

\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{lll}y_1 = \beta_0 + \beta_1x_{11} + \cdots + \beta_px_{p1} \\y_2 = \beta_0 + \beta_1x_{12} + \cdots + \beta_px_{p2} \\\vdots \\y_n = \beta_0 + \beta_1x_{1n} + \cdots + \beta_px_{pn}\end{array}\right.\end{eqnarray}

¦ý¬O­±临ªº¤@个问题¬O¡A¦³ n组观测数Õu¡Ap + 1个变¶q¡A ¦pªG n > p + 1, 则±o¨ìªº线©Ê¥Ù¬Þ¤èµ{组¡A无ªkª½±µ¨D¸Ñ¡C ©Ò¥H欧©Ô©M©Ô´¶©Ô´µªö¥Îªº¤èªk³£¬O³q过¤@©wªº对数Õuªº观¹î¡A§ân个线©Ê¤èµ{¤À为 p+1组¡AµM¦Z§â¨C个组内ªº¤èµ{线©Ê¨D©M¦Z归¦}为¤@个¤èµ{¡A从¦Ó´N§ân个¤èµ{ªº¤èµ{组¦E归为p+1个¤èµ{ªº¤èµ{组¡A进¤@¨B¸Ñ¤èµ{¨D¸Ñ参数¡C这¨Ç¤èªkªì¬Ý¦³¤@¨Ç¹D²z¡A¦ý¬O³£过¤_ adhoc, 无ªk§Î¦¨统¤@处²z这¤@类问题ªº¤@个³q¥Î¸Ñ决®Ø¬[¡C

¥H¤W¨D¸Ñ线©Ê¥Ù¬Þ¤èµ{ªº问题¦b现¦bªº¥»¬ì¥Í¬Ý来³£¤£§x难¡A´N¬O统计学¤¤ªº线©Ê¦^归问题¡Aª½±µ¥Î³Ì¤p¤G­¼ªk´N¸Ñ决¤F¡A¥i¬O§Y«K¦p欧©Ô¡B©Ô´¶©Ô´µ这¨Ç数学¤j¤û¡A当时¤]¥¼¯à对这¨Ç问题´£¥X¦³®Äªº¸Ñ决¤è®×¡C¥i见¦b¬ì学¬ã¨s¤¤¡A­n·Q¦b观©À¤W¦³©Ò¬ð¯}¦}¤£®e©ö¡C¦³®Äªº³Ì¤p¤G­¼ªk¬O°Ç让¼w¦b 1805 ¦~发ªíªº¡A°ò¥»«ä·Q´N¬O认为测¶q¤¤¦³误®t¡A©Ò¥H©Ò¦³¤èµ{ªº²Ö积误®t为

²Ö积误®t = \sum(观测­È - ²z论­È )^2

§Ú们¨D¸Ñ¥X导­P²Ö积误®t³Ì¤pªº参数§Y¥i¡C

\begin{eqnarray}\label{least-square-error} \begin{array}{lll}\hat{\beta}& = & \displaystyle argmin_{\beta} \sum_{i=1}^n e_i^2 \\& = & \displaystyleargmin_{\beta} \sum_{i=1}^n [y_i - (\beta_0 + \beta_1x_{1i} + \cdots + \beta_px_{pi})]^2\end{array} \end{eqnarray}

°Ç让¼w¦b论¤å¤¤对³Ì¤p¤G­¼ªkªºÉ¬¨}©Ê°µ¤F¤L点说©ú¡G

³Ì¤p¤G­¼¨Ï±o误®t¥­¤è©M³Ì¤p¡A¦}¦b¦U个¤èµ{ªº误®t¤§间«Ø¥ß¤F¤@Ïú¥­¿Å¡A从¦Ó¨¾¤î¬Y¤@个ÌåºÝ误®t¨ú±o¤ä°t¦a¦ì
计ºâ¤¤¥u­n¨D°¾导¦Z¨D¸Ñ线©Ê¤èµ{组¡A计ºâ过µ{©úÚÌ«K±¶
³Ì¤p¤G­¼¥i¥H导¥Xºâ术¥­§¡­È§@为¦ô计­È
对¤_³Ì¦Z¤@点¡A从统计学ªº¨¤«×来¬Ý¬O«Ü­«­nªº¤@个©Ê质¡C±À²z¦p¤U¡G°²设¯u­È为 \theta, x_1, \cdots, x_n为n¦¸测¶q­È, ¨C¦¸测¶qªº误®t为 e_i = x_i - \theta ¡A«ö³Ì¤p¤G­¼ªk¡A误®t²Ö积为



¨D¸Ñ\theta¨Ï±o L(\theta)达¨ì³Ì¤p¡A¥¿¦n¬Oºâ术¥­§¡ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} ¡C - See more at: http://xinshidai.forumer.com/42- ... thash.4RrdWzO2.dpuf


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¥Ñ¤_ºâ术¥­§¡¬O¤@个历经¦Ò验ªº¤èªk¡A¦Ó¥H¤Wªº±À²z说©ú¡Aºâ术¥­§¡¬O³Ì¤p¤G­¼ªº¤@个¯S¨Ò¡A©Ò¥H从¥t¤@个¨¤«×说©ú¤F³Ì¤p¤G­¼¤èªkªºÉ¬¨}©Ê¡A¨Ï§Ú们对³Ì¤p¤G­¼ªk§ó¥[¦³«H¤ß¡C

³Ì¤p¤G­¼ªk发ªí¤§¦Z«Ü§Ö±o¨ì¤F¤j®aªº认¥i±µ¨ü¡A¦}¨³³tªº¦b数Õu¤ÀªR实践¤¤³Q广ªx¨Ï¥Î¡C¤£过历¥v¤W¤S¦³¤H§â³Ì¤p¤G­¼ªkªº发©ú归¥\¤_°ª´µ¡A这¤S¬O«ç¤\¤@¦^¨Æ©O¡C°ª´µ¦b1809¦~¤]发ªí¤F³Ì¤p¤G­¼ªk¡A¦}¥B声称¦Û¤v¤w经¨Ï¥Î这个¤èªk¦h¦~¡C°ª´µ发©ú¤F¤p¦æ¬P©w¦ìªº数学¤èªk¡A¦}¦b数Õu¤ÀªR¤¤¨Ï¥Î³Ì¤p¤G­¼¤èªk进¦æ计ºâ¡A­ãÚ̪º预测¤F¨¦¯«¬Pªº¦ì¸m¡C

§è¤F¥b¤Ñ³Ì¤p¤G­¼ªk¡A没¬Ý¥X©M¥¿态¤À¥¬¦³¥ô¦ó关¨t°Ú¡AÖÃ题¤F§a¡H单´N³Ì¤p¤G­¼ªk¥»¨­¡A虽µM«Ü实¥Î¡A¤£过¬Ý¤W¥h§ó¦hªººâ¬O¤@个¥N数¤èªk¡A虽µM¥i¥H±À导¥X³Ìɬ¸Ñ¡A对¤_¸Ñªº误®t¦³¦h¤j¡A无ªk给¥X¦³®Äªº¤ÀªR¡A¦Ó这个´N¬O¥¿态¤À¥¬¯»¾¥µn场发挥§@¥Îªº¦a¤è¡C°Ç让¼w´£¥Xªº³Ì¤p¤G­¼ªk¡AÚÌ实¬O¤@§â¦b数Õu¤ÀªR领°ì©Ü荆斩´Æªº¦n¤M¡A¦ý¬O¤M¤b还¬O¤£够锋§Q¡F¦Ó这§â¤Mªº¥´³y¦Z来¦Ü¤Ö¤@¥b¥\劳³Q归¨ì°ª´µ¡A¬O¦]为°ª´µ¤£单独¦Ûªº给¥X¤F³y¤Mªº¤èªk¡A¦Ó¥B§â³Ì¤p¤G­¼这§â§Q¤Mªº¤M¤b³y±o无¤ñ锋§Q¡A§â³Ì¤p¤G­¼¥´³y为¤F¤@§â·ç¤h军¤M¡C°ª´µ©Ý®i¤F³Ì¤p¤G­¼ªk¡A§â¥¿态¤À¥¬©M³Ì¤p¤G­¼ªk联¨t¦b¤@°_¡A¦}¨Ï±o¥¿态¤À¥¬¦b统计误®t¤ÀªR¤¤Ú̥ߤF¦Û¤vªº©w¦ì¡A§_则¥¿态¤À¥¬´N¤£会³Q称为°ª´µ¤À¥¬¤F¡C ¨º°ª´µ这¦ì¯«¤H¬O¦p¦ó§â¥¿态¤À¥¬¤Þ¤J¨ì误®t¤ÀªR¤§¤¤¡A¥´³y³Ì¤p¤G­¼这§â·ç¤h军¤Mªº©O¡H¬Ý¤U¤@个¬G¨Æ¡C

¥|¡B众¨½寻¦o¤d¦Ê«×,误®t¤À¥¬¦±线ªºÚÌ¥ß

²Ä¤T个¬G¨Æ¦³点长¡A¥D¨¤¬O°ª´µ©M©Ô´¶©Ô´µ¡A¬G¨Æªº¥D­n内®e¬O²q测¤W«Òªº³yª«ªº¦®·N¡A寻§ä随Éó误®t¤À¥¬ªº规«ß¡C

¤Ñ¤å学¬O²Ä¤@个³Q测¶q误®t§xÊðªº学¬ì¡A从¥j¥N¦Ü¤Q¤K¥@纪¤Ñ¤å学¤@ª½¬O应¥Î数学³Ì发达ªº领°ì¡A ¨ì¤Q¤K¥@纪¡A¤Ñ¤å学ªº发®i积²Ö¤F¤j¶qªº¤Ñ¤å学数Õu»Ý­n¤ÀªR计ºâ¡A应该¦p¦ó来处²z数Õu¤¤ªº观测误®t¦¨为¤@个«Ü´Æ¤âªº问题¡C §Ú们¦b数Õu处²z¤¤经±`¨Ï¥Î¥­§¡ªº±`识©Êªk则¡A¤d¦Ê来来ªº数Õu¨Ï¥Î经验说©úºâ术¥­§¡¯à够®ø°£误®t¡A´£°ªºë«×¡C ¥­§¡¦³¦p¦¹ªº¾y¤O¡A¹D²z¦ó¦b¡A¤§«e没¦³¤H°µ过²z论¤Wªº证©ú¡C ºâ术¥­§¡ªº¦X²z©Ê问题¦b¤Ñ¤å学ªº数Õu¤ÀªR¤u§@¤¤³Q´£¥X来讨论¡G测¶q¤¤ªº随Éó误®tªA应该ªA从«ç样ªº·§²v¤À¥¬¡H ºâ术¥­§¡ªºÉ¬¨}©Ê©M误®tªº¤À¥¬¦³«ç样ªº±K¤Á联¨t¡H

¦÷§Q²¤¦b¥LµÛ¦Wªº¡m关¤_两个¥D­n¥@¬É¨t统ªº对话¡n¤¤¡A对误®tªº¤À¥¬°µ过¤@¨Ç©w©Êªº´y­z¡A¥D­n¥]¬A¡G

误®t¬O对称¤À¥¬ªº;
¤jªº误®t¥X现频²v§C¡A¤pªº误®t¥X现频²v°ª¡C
¥Î数学ªº语¨¥´y­z¡A¤]´N¬O说误®t¤À¥¬¨ç数 f(x)关¤_0对称¤À¥¬¡A·§²v±K«×随 |x|¼W¥[¦Ó减¤p¡A 这两个©w©Êªº´y­z³£«Ü²Å¦X±`识¡C

许¦h¤Ñ¤å学®a©M数学®a开©l¤F寻§ä误®t¤À¥¬¦±线ªº尝试¡C Thomas Simpson (1710-1761) ¥ý¨«¥X¤F¦³·N义ªº¤@¨B¡C 设¯u­È为 \theta, x_1, \cdots, x_n为n¦¸测¶q­È, ¨C¦¸测¶qªº误®t为 e_i = x_i - \theta ¡A ­Y¥Îºâ术¥­§¡ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} ¥h¦ô计\theta, ¨ä误®t为 \bar{e} = \frac{\sum_{i=1}^n e_i}{n} ¡C Simpson 证©ú¤F, 对¤_¦p¤Uªº¤@个·§²v¤À¥¬¡A



¡iSimpson ªº误®t态¤À¥¬¦±线¡j

¦³



¤]´N¬O说¡A|\bar{e}|¬Û¤ñ¤_|e_1|¨ú¤p­ÈªºÉó会§ó¤j¡C Simpson ªº这个¤u§@«Ü²ÊÁW¡A¦ý¬O这¬O²Ä¤@¦¸¦b¤@个¯S©w±¡况¤U¡A从·§²v论ªº¨¤«×严®æ证©ú¤Fºâ术¥­§¡ªºÉ¬¨}©Ê¡C

从 1772-1774 ¦~¡A ©Ô´¶©Ô´µ¤]¥[¤J¨ì¤F寻§ä误®t¤À¥¬¨ç数ªº队¥î¤¤¡C©Ô´¶©Ô´µ°²©w误®t¤À¥¬¨ç数f(x)满¨¬¦p¤U©Ê质



¥Ñ¦¹³Ì终¨D±oªº¤À¥¬¨ç数为



这个¨ç数现¦b³Q称为©Ô´¶©Ô´µ¤À¥¬¡C



¡iLaplace ªº误®t态¤À¥¬¦±线¡j

¥H这个¨ç数§@为误®t¤À¥¬¡A©Ô´¶©Ô´µ开©l¦Ò虑¦p¦ó°ò¤_测¶qªº结ªG¥h¦ô计¥¼ª¾参数ªº­È¡C ©Ô´¶©Ô´µ¥i¥Hºâ¬O¤@个贝叶´µ¥D义ªÌ¡A¥Lªº参数¦ô计ªº­ì则©M现¥N贝叶´µ¤èªk«D±`¬Û¦ü¡A°²设¥ý验¤À¥¬¬O§¡匀ªº¡A 计ºâ¥X参数ªº¦Z验¤À¥¬¦Z¡A¨ú¦Z验¤À¥¬ªº¤¤­È点¡A§Y1/2¤À¦ì点¡A§@为参数¦ô计­È¡C¥i¬O°ò¤_这个误®t¤À¥¬¨ç数 °µ¤F¤@¨Ç计ºâ¤§¦Z¡A©Ô´¶©Ô´µ发现计ºâ过¤_Î`杂¡A³Ì终没¯à给¥X¤°¤\¦³¥Îªº结ªG¡C

©Ô´¶©Ô´µ¥i¬O·§²v论ªº¤j¤û¡A写过两¥»Ì妳¼v响¤Oªº¡m·§²v¤ÀªR²z论¡n¡A ¤£过¥H§Úªº数学审¬ü¡A实¦b无ªk²z¸Ñ©Ô´¶©Ô´µ这样ªº¤j¤û«ç¤\§ä¤F¤@个¹s点¤£¥i导ªº误®tªº¤À¥¬¨ç数¡A ©Ô´¶©Ô´µ³Ì终还¬O没¯à·d©w误®t¤À¥¬ªº问题¡C

现¦b轮¨ì°ª´µµn场¤F¡A°ª´µ¦b数学¥v¤¤ªº¦a¦ìÌå°ª¡A号称数学¥v¤Wªºª°¯W¡A数学®aªü贝尔对¥Lªº评论¬O "He is like the fox, who effaces his tracks in the sand with his tail." §Ú们ªº数学¤j师陈¬Ù¨­§â¾¤°Ò©M庞¥[莱称为数学®a¤¤ªºµÐ萨¡A¦Ó称¦Û¤v为罗汉¡F°ª´µ¬O¾¤°Òªº导师¡A数学°é¨½¦³¨Ç±Ð±Â§â°ª´µ称为数学®a¤¤ªº¦ò¡C ¦b数学®a¤¤¤W¬J¯à¥õ±æ²z论数学ªº¬PªÅ¡A¤S¯à脚½ñ应¥Î数学ªº实¦aªº¥i¤£¦h见¡A °ª´µ¬O数学®a¤¤¤Ö¦³ªº顶¡¨¤Ñ¡§¥ß¡¨¦a¡§ªº¤Hª«¡A¥¦¬J对纯²z论数学¦³²`¨èªº¬}¹î¤O¡A¤SÌå¨ä­«视数学¦b实践¤¤ªº应¥Î¡C ¦b误®t¤À¥¬ªº处²z¤¤¡A°ª´µ¥H¤Î¨ä简单ªº¤âªkÚ̥ߤF随Éó误®tªº·§²v¤À¥¬¡A¨ä结ªG¦¨为数²z统计发®i¥v¤Wªº¤@块¨½µ{¸O¡C

°ª´µªº¤¶¤J­º¥ý­n从¤Ñ¤å学¬Éªº¤@个¨Æ¥ó说°_¡C1801¦~1¤ë¡A¤Ñ¤å学®aGiuseppe Piazzi发现¤F¤@颗从¥¼见过 ªº¥ú«×8µ¥ªº¬P¦b²¾动¡A 这颗现¦b³Q称§@¨¦¯«¬P¡]Ceres¡^ªº¤p¦æ¬P¦b©]ªÅ¤¤¥X现6个¬P´Á¡A扫过¤K«×¨¤¦Z¦b´N¦b¤Ó阳ªº¥ú¨~¤U没¤F踪¼v¡A无ªk观测¡C ¦Ó¯d¤Uªº观测数Õu¦³­­¡A难¥H计ºâ¥X¥Lªº轨¹D¡A¤Ñ¤å学®a¤]¦]¦¹无ªkÚÌ©w这颗·s¬P¬O±k¬P还¬O¦æ¬P¡A 这个问题«Ü§Ö¦¨¤F学术¬É关ª`ªºµJ点¡C°ª´µ当时¤w经¬O«Ü¦³¦W±æªº¦~轻数学®a¤F¡A 这个问题¤Þ°_¤F¥Lªº兴½ì¡C°ª´µ¥H¨ä¨ô¶Vªº数学¤~¯à创¥ß¤F¤@Ïú崭·sªº ¦æ¬P轨¹Dªº计ºâ¤èªk¡A¤@个¤p时¤§内´N计ºâ¥X¤F¦æ¬Pªº轨¹D¡A¦}预¨¥¤F¥L¦b©]ªÅ¤¤¥X现ªº时间©M¦ì¸m¡C 1801¦~12¤ë31¤é©]¡A¼w国¤Ñ¤å爱¦nªÌ奥§B´µ(Heinrich Olbers)¡A¦b°ª´µ预¨¥ªº时间¨½¡A¥Î±æ远镜对­ã¤F这¤ù¤ÑªÅ¡C ªGµM¤£¥X©Ò®Æ¡A¨¦¯«¬P¥X现¤F¡I

°ª´µ为¦¹¦W声¤j¾_¡A¦ý¬O°ª´µ当时©Ú绝³zÅS计ºâ轨¹Dªº¤èªk¡A­ì¦]¥i¯à¬O°ª´µ认为¦Û¤vªº¤èªkªº²z论°ò础还¤£够¦¨¼ô¡A ¦Ó°ª´µ¤@¦Vªv学严谨¡Bºë¯q¨Dºë¡A¤£轻©ö发ªí没¦³«ä¦Ò¦¨¼ôªº²z论¡Cª½¨ì1809¦~°ª´µ¨t统¦a§¹µ½¤F¬Û关ªº数学²z论¦Z¡A ¤~将¥Lªº¤èªk¤½¥¬¤_众¡A¦Ó¨ä¤¤¨Ï¥Îªº数Õu¤ÀªR¤èªk¡A´N¬O¥H¥¿态误®t¤À¥¬为°ò础ªº³Ì¤p¤G­¼ªk¡C ¨º°ª´µ¬O¦p¦ó±À导¥X误®t¤À¥¬为¥¿态¤À¥¬ªº¡H让§Ú们¬Ý¬Ý°ª´µ¬O¦p¦ó²q测¤W«Òªº·N图ªº¡C

设¯u­È为 \theta, x_1, \cdots, x_n为n¦¸独¥ß测¶q­È, ¨C¦¸测¶qªº误®t为 e_i = x_i - \theta ¡A °²设误®te_iªº±K«×¨ç数为 f(e), 则测¶q­Èªº联¦X·§²v为n个误®tªº联¦X·§²v¡A记为

\begin{equation} L(\theta) = L(\theta;x_1,\cdots,x_n)=f(e_1)\cdots f(e_n) = f(x_1-\theta)\cdots f(x_n-\theta)\end{equation}

¦ý¬O°ª´µ¤£ªö¥Î贝叶´µªº±À²z¤è¦¡¡A¦Ó¬Oª½±µ¨úL(\theta)达¨ì³Ì¤j­Èªº \hat{\theta}=\hat{\theta}(x_1,\cdots,x_n)§@为\thetaªº¦ô计­È¡A§Y



现¦b§Ú们§âL(\theta)称为样¥»ªº¦üµM¨ç数¡A¦Ó±o¨ìªº¦ô计­È \hat{\theta}称为Ìå¤j¦üµM¦ô计¡C °ª´µ­º¦¸给¥X¤FÌå¤j¦üµMªº«ä·Q¡A这个«ä·Q¦Z来³Q统计学®a R.A.Fisher ¨t统ªº发®i¦¨为参数¦ô计¤¤ªºÌå¤j¦üµM¦ô计²z论¡C

°ª´µ±µ¤U来ªº·Qªk¯S别¤û¡A¥L开©l´¢«×¤W«Òªº·N图¡A¦Ó这¥R¤ÀÊ^现¤F°ª´µªº数学¤Ñ¤~¡C °ª´µ§â¾ã个问题ªº«ä¦Ò¼Ò¦¡­Ë过来¡G¬JµM¤d¦Ê¦~来¤j®a³£认为ºâ术¥­§¡ ¬O¤@个¦nªº¦ô计¡A¨º§Ú´N认为Ìå¤j¦üµM¦ô计导¥Xªº´N应该¬Oºâ术¥­§¡¡I©Ò¥H°ª´µ²q测¤W«Ò¦b创¥@纪¤¤ªº¦®·N´N¬O¡G

误®t¤À¥¬导¥XªºÌå¤j¦üµM¦ô计 = ºâ术¥­§¡­È

µM¦Z°ª´µ¥h§ä误®t±K«×¨ç数 f¥Hªï¦X这¤@点¡C§Y寻§ä这样ªº·§²v¤À¥¬¨ç数 f, ¨Ï ±oÌå¤j¦üµM¦ô计¥¿¦n¬Oºâ术¥­§¡ \hat{\theta} = \bar{x}¡C¦Ó°ª´µ应¥Î数学§Þ¥©¨D¸Ñ这个¨ç数f, °ª´µ证©ú(证©ú¤£难¡A¦Z续给¥X)¡A©Ò¦³ªº·§²v±K«×¨ç数¤¤¡A°ß¤@满¨¬这个©Ê质ªº´N¬O



Á@¡A¥¿态¤À¥¬ªº±K«×¨ç数 N(0, \sigma^2)³Q°ª´µ¥L¦Ñ¤H®a给¸Ñ¥X来¤F¡I



¡i¥¿态误®t态¤À¥¬«ß¡j

进¤@¨B¡A°ª´µ°ò¤_这个误®t¤À¥¬¨ç数对³Ì¤p¤G­¼ªk给¥X¤F¤@个«Üº}«Gªº¸Ñ释¡C 对¤_¨C个误®t e_i,¦³ e_i \sim N(0, \sigma^2), 则(e_1, \cdots, e_n)ªº联¦X·§²v¤À¥¬为



­n¨Ï±o这个·§²v³Ì¤j¡A¥²须¨Ï±o\sum_{i=1}^n e_i^2 ¨ú³Ì¤p­È¡A这¥¿¦n´N¬O³Ì¤p¤G­¼ªkªº­n¨D¡C

°ª´µ©Ò©Ý®iªº³Ì¤p¤G­¼ªk¦¨为¤F¤Q¤E¥@纪统计学ªº³Ì­«­n¦¨´N¡A¥¦¦b¤Q¤E¥@纪统计学ªº­«­n©Ê´N¬Û当¤_¤Q¤K¥@¬öªº·L积¤À¤§¤_数学¡C ¦Ó°Ç让¼w©M³Ì¤p¤G­¼ªºªº发©ú权¤§争¡A¦¨¤F数学¥v¤W仅¦¸¤_¤û顿¡B莱¥¬¥§¯ý·L积¤À发©úªº争ºÝ¡C ¬Û¤ñ¤_°Ç让¼w1805给¥Xªº³Ì¤p¤G­¼ªk´y­z¡A°ª´µ°ò¤_误®t¥¿态¤À¥¬ªº³Ì¤p¤G­¼²z论显µM§ó°ª¤@筹¡A °ª´µªº¤u§@¤¤¬J´£¥X¤FÌå¤j¦üµM¦ô计ªº«ä·Q¡A¤S¸Ñ决¤F误®tªº·§²v±K«×¤À¥¬ªº问题¡A ¥Ñ¦¹§Ú们¥i¥H对误®tªº¤j¤pªº¼v响进¦æ统计«×¶q¤F¡C°ª´µªº这项¤u§@对¦Z¥@ªº¼v响Ìå¤j¡A¦Ó¥¿态¤À¥¬¤]¦]¦¹³Q«a¦W °ª´µ¤À¥¬¡C¦ô计°ª´µ¥»¤H当时¬O§¹¥þ没¦³·N识¨ì¥Lªº这个¤u§@给现¥N数²z统计学带来ªº²`¨è¼v响¡C °ª´µ¦b数学¤Wªº贡献¯S¦h¡A¥h¥@«e¥L¬O­n¨D给¦Û¤vªº¹Ó¸O¤WÀJ¨è¤W¥¿¤Q¤C边§Î¡A¥H说©ú¥L¦b¥¿¤Q¤C边§Î¤Ø规§@图¤WªºªN¥X¤u§@¡C ¦Ó¦Z¥@ªº¼w国钞²¼©M钢镚¤W¬O¥H¥¿态±K«×¦±线来纪©À°ª´µ¡A这¨¬¥H说©ú°ª´µªº这项¤u§@¦b当¥N¬ì学发®i¤¤ªº¤À¶q¡C - See more at: http://xinshidai.forumer.com/42- ... thash.4RrdWzO2.dpuf


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Rank: 5Rank: 5

©«¤l 824
µù¥U 2012-5-27
¥Î¤áµù¥U¤Ñ¼Æ 4323
µoªí©ó 2013-3-2 22:42 
175.150.160.22
17-18¥@纪¬ì学¬É¬y¦æªº°µªk¡A¬O尽¥i¯à从¬YÏú简单©ú¤Fªº­ã则(first principle)¥X发进¦æ±À导¡A °ª´µ设©wªº­ã则¡§³Ì¤j¦üµM¦ô计应该导¥Xɬ¨}ªººâ术¥­§¡¡¨¡A¦}导¥X¤F误®tªA从¥¿态¤À¥¬¡A±À导ªº§Î¦¡¤W«D±`简ϡɬ¬ü¡C ¦ý¬O°ª´µ给ªº­ã则¦b逻辑¤W¦}¤£¨¬¥H让¤H§¹¥þ«HªA¡A¦]为ºâ术¥­§¡ªºÉ¬¨}©Ê当时§ó¦hªº¬O¤@个ª½觉经验¡A¯Ê¥F严®æªº²z论¤ä«ù¡C °ª´µªº±À导¦s¦b´`环论证ªº¨ý¹D¡G¦]为ºâ术¥­§¡¬Oɬ¨}ªº¡A±À¥X误®t¥²须ªA从¥¿态¤À¥¬¡F ¤Ï过来¡A¤S°ò¤_¥¿态¤À¥¬±À导¥X³Ì¤p¤G­¼©Mºâ术¥­§¡¡A来说©ú³Ì¤p¤G­¼ªk©Mºâ术¥­§¡ªºÉ¬¨}©Ê¡C 这³´¤J¤F¤@个鸡¥Í³J³J¥Í鸡ªº©Ç°é¡A逻辑¤Wºâ术¥­§¡ªºÉ¬¨}©Ê¨ì©³¦³没¦³¦Û¦æ¦¨¥ßªº²z¥Ñ©O¡H

°ª´µªº¤å³¹发ªí¤§¦Z¡A©Ô´¶©Ô´µ«Ü§Ö±oª¾¤F°ª´µªº¤u§@¡C ©Ô´¶©Ô´µ¬Ý¨ì¡A¥¿态¤À¥¬¬J¥i¥H从§@为抛钢镚产¥Íªº§Ç¦C©M¤¤¥Í¦¨¥X来¡A¤S¥i¥H³Qɬ¶®ªº§@为误®t¤À¥¬©w«ß¡A 这难¹D¬O°¸µM现¶H¡H©Ô´¶©Ô´µ¤£·\为·§²v论ªº¤j¤û¡A¥L马¤W将误®tªº¥¿态¤À¥¬²z论©M¤¤¤ßÌå­­©w²z联¨t°_来¡A´£¥X¤F¤¸误®t¸Ñ释¡C ¥L«ü¥X¦pªG误®t¥i¥H¬Ý¦¨许¦h¶qªº叠¥[¡A则®ÚÕu¥Lªº¤¤¤ßÌå­­©w²z¡A则随Éó误®t²z©Ò应当¬O°ª´µ¤À¥¬¡C ¦Ó20¥@纪¤¤¤ßÌå­­©w²zªº进¤@¨B发®i¡A¤]给这个¸Ñ释´£¨Ñ¤F§ó¦hªº²z论¤ä«ù¡C¦]¦¹¦³¤F这个¸Ñ释为¥X发点¡A °ª´µªº´`环论证ªº°é¤l´N¥i¥H¥´¯}¡C ¦ô计©Ô´¶©Ô´µ®©¥X这个结论¤§¦Z¤@©w·Q¼²墙¡A¦Û¤v¨¯¨¯­W­W寻寻觅觅 ¤F这¤\¤[ªº误®t¤À¥¬¦±线´N¦b¦Û¤vªº²´¥Ö©³¤U¡A¦Û¤v却长¦~来视¦Ó¤£见¡A³Q°ª´µ给¥e¤F¥ýÉó¡C

¦Ü¦¹¡A误®t¤À¥¬¦±线ªº寻§ä尘®J¸¨©w¡A¥¿态¤À¥¬¦b误®t¤ÀªR¤¤Ú̥ߤF¦Û¤vªº¦a¦ì¡A开©l¦}¦b¾ã个19¥@纪¤£断ªº开æ扩¤g¡A ª½¦Ü¦b统计学¤¤鹤¥ß鸡¸s¡A¶Æ¥@¨ä¥¦¤@¤Á·§²v¤À¥¬¡F¦Ó°ª´µ©M©Ô´¶©Ô´µªº¤u§@¡A为现¥N统计学ªº发®i开启¤F¤@®°¤j门¡C

¦b¾ã个¥¿态¤À¥¬³Q发现ÉO应¥Îªº历¥v¤¤¡A´Ð²ö¥±¡B©Ô´¶©Ô´µ¡B°ª´µ¦U¦³贡献¡A©Ô´¶©Ô´µ从¤¤¤ßÌå­­©w²zªº¨¤«×¸Ñ释¥¦¡A °ª´µ§â¥¦应¥Î¦b误®t¤ÀªR¤¤¡A®í³~¦P归¡C¥¿态¤À¥¬³Q¤H们发现¦³这¤\¦nªº©Ê质¡A¦U国¤H¥Á³£争抢¥Lªº«a¦W权¡C ¦]为 Laplace ¬Oªk国¤H,©Ò¥H当时¦bªk国³Q称为©Ô´¶©Ô´µ¤À¥¬; ¦Ó°ª´µ¬O¼w国¤H, ©Ò¥H¦b¼w国¥s°µ°ª´µ¤À¥¬¡F²Ä¤T¤¤¥ß国ªº¤H¥Á称¥L为©Ô´¶©Ô´µ-°ª´µ¤À¥¬¡C¦Z来ªk国ªº¤j数学®a庞¥[莱(Henri Poincaré)«Ø议§ï¥Î¥¿态¤À¥¬这¤@¤¤¥ß¦W称,¦Ó随¦Z统计学®a¥d尔.¥Ö尔´Ë¨Ï±o这个¦W称³Q广ªx±µ¨ü¡G

Many years ago I called the Laplace-Gaussian curve the normal curve, which name, while it avoids an international question of priority, has the disadvantage of leading people to believe that all other distributions of frequency are in one sense or another "abnormal".}

-Karl Pearson (1920)

¤£过¦]为°ª´µ¦b数学®a¤¤ªº¦WÉa¬O¦b¤Ó¤j, ¥¿态¤À¥¬ªº®Û«a还¬O§ó¦hªº³QÀ¹¦b¤F°ª´µªº脑门¤W¡A¥Ø«e数学¬É³q¦æªº¥Î语¬O¥¿态¤À¥¬°ª´µ¤À¥¬, 两ªÌ¦}¥Î¡C

¥¿态¤À¥¬¦b°ª´µªº±À动¤U¡A¨³³t¦b测¶q误®t¤ÀªR¤¤³Q广ªx¨Ï¥Î¡AµM¦Ó¦­´Á¤]仅­­¤_测¶q误®tªº¤ÀªR¤¤¡A ¨ä­«¥Î©Ê远没¦³³Q¦ÛµM¬ì学©MªÀ会¬ì学领°ì¤¤ªº¤H们©Ò认识¡A¨º¥¿态¤À¥¬¬O¦p¦ó从测¶q误®t¤ÀªRªº¤p·Ë¡A 冲¦V¦ÛµM¬ì学©MªÀ会¬ì学ªº¨L¬v¤j®üªº©O¡H



(¤­)¦±径³q«Õ处¡A禅©Ðªá¤ì²`¡A¥¿态¤À¥¬ªº¦UÏú±À导

¦b¤¶绍¥¿态¤À¥¬ªº¦Z续发®i¤§«e¡A§Ú们来¦h讲¤@点数学¡A¤]许¦³¨Ç¤H会觉±o¬\Àê¡A¤£过°ª´µ´¿经说过¡G¡§数学¬O¤W«Òªº语¨¥¡¨¡C©Ò¥H­n·Q§ó¥[²`¤Jªº²z¸Ñ¥¿态¤À¥¬ªº¬ü¡A°ß¦³³q过¤W«Òªº语¨¥¡C

³yª«¥D³yª«ªº­ã则©¹©¹¬O简单©ú¤Fªº¡A¥u¬O¦b纷Ác芜杂ªºÉEª«¤§¤¤¡A§Ú们­n发现¦}领会¥¦¦}«D©ö¨Æ¡C¤§«e´£¨ì过¡A17-18¥@纪¬ì学¬É¬y¦æªº°µªk¡A¬O尽¥i¯à从¬YÏú简单©ú¤Fªº­ã则(first principle)¥X发§@为§Ú们±´¨Dªº°_点¡A¦Ó¦Z来ªº数学®a©Mª«²z学®a们¬ã¨s发现¡A屡¦¸从¤@¨Ç给©wªº简单ªº­ã则¥X发,§Ú们总¬O³Q¤Þ领¨ì¤F¥¿态¤À¥¬ªº®a门¤f¡A这让¤H·P觉¨ì¥¿态¤À¥¬ªº¬ü§®¡C

达尔¤åªºªí§Ì°ª尔顿¬O¥Íª«学®a­Ý统计学®a¡A¥L对¥¿态¤À¥¬«D±`ªº±À±RÉO赞¬ü¡G¡¨§Ú¤L¥G¤£´¿见过¹³误®t§e¥¿态¤À¥¬这¤\¿E发¤H们无穷·Q¶Hªº¦t©z¯´§Ç¡§¡C当¥N两¦ì伟¤jªº·§²v学®a Levy ©M Kac ³£´¿经说过¡A ¥¿态¤À¥¬¬O¥L们¤Á¤J·§²v论ªºªì恋±¡¤H¡A¨ã¦³无穷ªº¾y¤O¡C¦Û从 1919 ¦~¥H¦Z¡ALevy ¬ã¨sªº¥D题¦±´N¬O¥¿态¤À¥¬¡A¥L¤@¦Ó¦A¦A¦Ó¤Tªº¥H¥L为¥X发点¡A¦}¥B屡¦¸坚决ªº¤S¦^¨ì¦o......¦pªG¥j§ÆÛK¤Hª¾¹D¥¿态¤À¥¬¡A·Q¥²奥ªL¤Ç´µ¤sªº¯«·µ¨½会¦h¥X¤@个¥¿态¤k¯«¡A¥Ñ¦o来´xºÞ¥@间ªº²V¨P¡C

­n©Ô¤U¥¿态¤À¥¬ªº¯«¯µ­±纱®i现¦oªº¬ü丽¡A»Ý­n°ª²`ªº·§²v论ª¾识¡A¥»¤H¦b数学¤è­±ª¾识浅Á¡¡A¤£¯àÐ`¥ô¡C¥u¯à¦bÌå为¦³­­ªº­S围内尝试±È开¦oªº­±纱ªº¤@¨¤¡C´Ð²ö¥±©M©Ô´¶©Ô´µ¥H抛钢镚ªº§Ç¦C¨D©M为¥X发点¡Aªu着¤@条¤p径§â§Ú们²Ä¤@¦¸领¨ì¤F¥¿态¤À¥¬ªº®a门¤f¡A这条¸ô¥s§@¤¤¤ßÌå­­©w²z¡A¦Ó这条¸ô¤W风´º¨q丽¡A许¦h·§²v学®a³£为¤§倾­Ë¡A这条¸ô¦b20¥@纪³Q·§²v学®a们¶V©Ý¶V宽¡C¦Ó¦Z数学®a©Mª«²z学®a们发现¡G条条¦±径³q¥¿态¡CµÛ¦Wªºª«²z学®a E.T.Jaynes ¦b¥Lªº¦WµÛ¡mProbability Theory, the Logic of Science¡n(¤¤¤å书¦W½译为¡m·§²v论¨I«ä录¡n)¤¤¡A´y绘¤F¥|条³q©¹¥¿态¤À¥¬ªº¤p径¡C¦±径³q«Õ处¡A禅©Ðªá¤ì²`¡A让§Ú们¤@°_来ªY赏¤@¤U¥|条¤p径¤Wªº风´º§a¡C
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1. °ª´µªº±À导(1809)

²Ä¤@条¤p径¬O°ª´µ§ä¨ìªº¡A°ª´µ¥H¦p¤U­ã则§@为¤p径ªº¥X发点

误®t¤À¥¬导¥XªºÌå¤j¦üµM¦ô计 = ºâ术¥­§¡­È

设¯u­È为 \theta, x_1, \cdots, x_n为n¦¸独¥ß测¶q­È, ¨C¦¸测¶qªº误®t为 e_i = x_i - \theta ¡A

°²设误®te_iªº±K«×¨ç数为 f(e), 则测¶q­Èªº联¦X·§²v为n个误®tªº联¦X·§²v¡A记为

\begin{equation} L(\theta) = L(\theta;x_1,\cdots,x_n)=f(e_1)\cdots f(e_n) = f(x_1-\theta)\cdots f(x_n-\theta)\end{equation}

为¨DÌå¤j¦üµM¦ô计¡A¥O



¾ã²z¦Z¥i¥H±o¨ì



¥O g(x) = \frac{f'(x)}{f(x)},



¥Ñ¤_°ª´µ°²设Ìå¤j¦üµM¦ô计ªº¸Ñ´N¬Oºâ术¥­§¡ \bar{x}¡A§â¸Ñ带¤J¤W¦¡¡A¥i¥H±o¨ì

\begin{equation} \label{gauss-derivation}\sum_{i=1}^n g(x_i-\bar{x}) = 0 (*) \end{equation}

(*) ¦¡¤¤¨ú n=2, ¦³



¥Ñ¤_¦¹时¦³ x_1-\bar{x} = -(x_2-\bar{x}), ¦}¥B x_1, x_2¬O¥ô·Nªº¡A¦³¦¹±o¨ì



(*) ¦¡¤¤¦A¨ú n=m+1, ¦}¥B­n¨D x_1=\cdots=x_m=-x, x_{m+1} = mx, 则¦³ \bar{x} = 0, ¦}¥B



©Ò¥H±o¨ì



¦Ó满¨¬¤W¦¡ªº°ß¤@ªº连续¨ç数´N¬O g(x)=cx, 从¦Ó进¤@¨B¥i¥H¨D¸Ñ¥X



¥Ñ¤_f(x)¬O·§²v¤À¥¬¨ç数¡A§âf(x)¥¿规¤Æ¤@¤U´N±o¨ì¥¿态¤À¥¬¨ç数¡C

2. Herschel(1850)©M Maxwell(1860) ªº±À导

²Ä¤G条¤p径¬O¤Ñ¤å学®a Hershcel ©Mª«²z学®a麦§J´µ韦(Maxwell) 发现ªº¡C1850¦~¡A¤Ñ¤å学®a John Herschel ¦b对¬P¬Pªº¦ì¸m进¦æ测¶qªº时­Ô¡A»Ý­n¦Ò虑¤G维ªº误®t¤À¥¬¡A为¤F±À导这个误®tªº·§²v±K«×¤À¥¬ f(x,y),Herschel 设¸m¤F两个­ã则¡G

x 轴©M y 轴ªº误®t¬O¬Û¤¬独¥ßªº¡A§Y误®tªº·§²v¦b¥¿¥æªº¤è¦V¤W¬Û¤¬独¥ß
误®tªº·§²v¤À¥¬¦bªÅ间¤W¨ã¦³±Û转对称©Ê¡A§Y误®tªº·§²v¤À¥¬©M¨¤«×没¦³关¨t
这两个­ã则对¤_ Herschel ¦Ò虑ªº实际测¶q问题¬Ý°_来³£«Ü¦X²z¡C¥Ñ­ã则1¡A¥i¥H±o¨ì f(x,y)应该¨ã¦³¦p¤U§Î¦¡



§â这个¨ç数转换为Ì姤标¡A¦bÌ姤标¤Uªº·§²v±K«×¨ç数设为 g(r,\theta), ¦³



¥Ñ­ã则2, g(r,\theta)¨ã¦³±Û转对称©Ê¡A¤]´N¬O应该©M \theta无关, ©Ò¥H g(r,\theta)=g(r),
综¦X¥H¤W¡A§Ú们¥i¥H±o¨ì



¨ú y=0, ±o¨ì g(x) = f(x)f(0), ©Ò¥H¤W¦¡变为



¥O \log[\frac{f(x)}{f(0)}] = h(x) , 则¦³



从这个¨ç数¤èµ{¤¤®e©ö¨D¸Ñ¥X h(x) = ax^2, 从¦Ó¥i¥H±o¨ì f(x)ªº¤@¯ë§Î¦¡¦p¤U



¦Ó f(x)´N¬O¥¿态¤À¥¬ N(0, 1/\sqrt{2\alpha)}¡A ¦Ó f(x,y)´N¬O标­ã¤G维¥¿态¤À¥¬¨ç数¡C

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1860 ¦~¡A§Ú们伟¤jªºª«²z学®a麦§J´µ韦¦b¦Ò虑ÉaÊ^¤À¤lªº运动³t«×¤À¥¬ªº时­Ô¡A¦b¤T维ªÅ间¤¤°ò¤_类¦üªº­ã则±À导¥X¤FÉaÊ^¤À¤l运动ªº¤À¥¬¬O¥¿态¤À¥¬\rho(v_x,v_y,v_z) \propto exp\{-\alpha(v_x^2+v_y^2+v_z^2)\} ¡C这´N¬OµÛ¦Wªº麦§J´µ韦¤À¤l³t²v¤À¥¬©w«ß¡C¤j®a还记±o§Ú们¦b´¶³qª«²z¤¤学过ªº麦§J´µ韦-ªi尔兹°ÒÉaÊ^³t²v¤À¥¬©w«ß吗¡H

\begin{eqnarray} \label{maxwell}\begin{array}{lll}F(v) & = & \displaystyle (\frac{m}{2\pi kT})^{3/2} e^{-\frac{mv^2}{2kT}} \\& = & \displaystyle (\frac{m}{2\pi kT})^{1/2} e^{-\frac{mv_x^2}{2kT}} \times (\frac{m}{2\pi kT})^{1/2} e^{-\frac{mv_y^2}{2kT}} \times (\frac{m}{2\pi kT})^{1/2} e^{-\frac{mv_z^2}{2kT}} \end{array}\end{eqnarray}

©Ò¥H这个¤À¥¬¨ä实¬O¤T个¥¿态¤À¥¬ªº­¼积,§Aªºª«²z¦Ñ师¬O§_§i诉过§A¨ä实这个¤À¥¬´N¬O¤T维¥¿态¤À¥¬¡H¤Ï¥¿§Ú¬O¤@ª½¤£ª¾¹D¡Aª½¨ì¤µ¦~¤~©ú¥Õ

Herschel-Maxwell ±À导ªº¯«§®¤§处¦b¤_¡A没¦³§Q¥Î¥ô¦ó·§²v论ªºª¾识¡A¥u¬O°ò¤_ªÅ间¤L¦óªº¤£变©Ê¡A´N±À导¥X¤F¥¿态¤À¥¬¡C

3. Landon ªº±À导(1941)

²Ä¤T条¹D¬O¤@¦ì电Éa¤uµ{师¡AVernon D. Landon 给¥Xªº¡C1941 ¦~¡ALandon ¬ã¨s³q«H电¸ô¤¤ªº¾¸声电压¡A³q过¤ÀªR经验数Õu¥L发现¾¸声电压ªº¤À¥¬¼Ò¦¡«Ü¬Û¦ü¡A¤£¦Pªº¬O¤À¥¬ªº层级¡A¦Ó这个层级¥i¥H¨Ï¥Î¤è®t \sigma^2来¨è画¡C¦]¦¹¥L±À²z认为¾¸声电压ªº¤À¥¬¨ç数§Î¦¡¬O p(x;\sigma^2)¡C现¦b°²设¦³¤@个¬Û对¤_ \sigma¦Ó¨¥«Ü·L¤pªº误®tÊð动 e¡Aeªº¤À¥¬¨ç数¬O q(e), ¨º¤\·sªº¾¸声电压¬O x' = x + e¡CLandon ´£¥X¤F¦p¤Uªº­ã则

随Éó¾¸声¨ã¦³稳©wªº¤À¥¬¼Ò¦¡
²Ö¥[¤@个·L¤pªº随Éó¾¸声¡A¤£§ï变¨ä稳©wªº¤À¥¬¼Ò¦¡¡A¥u§ï变¤À¥¬ªº层级(¥Î¤è®t«×¶q)
¥Î数学ªº语¨¥´y­z: ¦pªG 则¦³

现¦b§Ú们来±À导满¨¬¥H¤W两个­ã则ªº¨ç数p(x;\sigma^2)应该长¦¨Ô£样¡C«ö·Ó两个随Éó变¶q©Mªº¤À¥¬ªº计ºâ¤è¦¡¡A x'ªº¤À¥¬¨ç数将¬O xªº¤À¥¬¨ç数©M eªº¤À¥¬¨ç数ªº¨÷积¡A§Y¦³



§â p(x'-e; \sigma^2)¦bx'处°µ®õ°Ç级数®i开(为¤F¤è«K¡A®i开¦Z§â¦Û变¶q¥Ñ x'´À换为 x)¡A ¤W¦¡¥i¥H®i开为



记 p=p(x; \sigma^2),则¦³



对¤_·L¤pªº随ÉóÊð动 e, §Ú们认为¥L¨ú¥¿­È©ÎªÌ负­È¬O对称ªº¡A©Ò¥H\bar{e} = 0 ¡C©Ò¥H¦³

\begin{equation} \label{landon-x}f(x) = p + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 p}{\partial^2 x}\bar{e^2} + o(\bar{e^2})\end{equation}

对¤_·sªº¾¸声电压¬O x' = x + e¡A ¤è®t¥Ñ\sigma^2¼W¥[为 \sigma^2 + var(e) = \sigma^2 + \bar{e^2},©Ò¥H«ö·Ó Landon ªº¤À¥¬¨ç数¼Ò¦¡¤£变ªº°²设¡A ·sªº¾¸声电压ªº¤À¥¬¨ç数应该为 f(x) = p(x; \sigma^2 + \bar{e^2})¡C§âp(x; \sigma^2 + \bar{e^2})¦b \sigma^2处°µ®õ°Ç级数®i开¡A±o¨ì

\begin{equation} \label{landon-sigma}\displaystyle f(x) = p + \frac{\partial p}{\partial \sigma^2}\bar{e^2} + o(\bar{e^2})\end{equation}

¤ñ较 ¥H¤W f(x)ªº两个®i开¦¡¡A¥i¥H±o¨ì¦p¤U°¾·L¤À¤èµ{



¦Ó这个¤èµ{´N¬Oª«²z¤WµÛ¦Wªº扩´²¤èµ{(diffusion equation),¨D¸Ñ该¤èµ{´N±o¨ì



¤S¤@¦¸¡A§Ú们±À导¥X¤F¥¿态¤À¥¬¡I

E.T. Jaynes对¤_这个±À导ªº评ɲ«Ü°ª¡A认为Landon ªº±À导¥»质¤W给¥X¤F¦ÛµM¬Éªº¾¸­µ§Î¦¨ªº过µ{¡C¥L«ü¥X这个±À导这°ò¥»¤W´N¬O¤¤¤ßÌå­­©w²zªº¼W¶q¦¡ª©¥»¡A¬Û¤ñ¤_¤¤¤ßÌå­­©w²z¬O¤@¦¸©Ê²Ö¥[©Ò¦³ªº¦]¯À¡ALandon ªº±À导¬O¨C¦¸¦b­ì¦³ªº¤À¥¬¤W¥h²Ö¥[¤@个·L¤pªºÊð动¡C
¦Ó¦b这个±À导¤¤¡A§Ú们¬Ý¨ì¡A¥¿态¤À¥¬¨ã¦³¬Û当¦nªº稳©w©Ê¡F¥u­n数Õu¤¤¥¿态ªº¼Ò¦¡¤w经§Î¦¨¡A¥L´N®e©ö继续«O«ù¥¿态¤À¥¬¡A无论¥~³¡²Ö¥[ªº随Éó¾¸声 q(e)¬O¤°¤\¤À¥¬¡A¥¿态¤À¥¬´N¹³¤@个¶Â¬}¤@样§â这个²Ö¥[¾¸声¦Y±¼¡C
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4. ³Ì¤jæi©M¥¿态¤À¥¬

还¦³¤@条¯«§®ªº¤p径¬O°ò¤_³Ì¤jæi­ì²zªº¡A ª«²z学®a E.T.Jaynes ¦b³Ì¤jæi­ì²z¤W¦³«D±`­«­nªº贡献¡A¥L¦b¡m·§²v论¨I«ä录¡n¨½­±对这个¤èªk¦³´y­z©M证©ú¡A没¦³´£¨ì发现ªÌ¡A§Ú¤£ÚÌ认这条¹Dªº发现ªÌ¬O§_¬O E.T.Jaynes ¥»¤H¡C

æi¦bª«²z学¤¤¥Ñ来¤w¤[¡A«H®§论ªº创©l¤H­»农(Claude Elwood Shannon)§â这个·§©À¤Þ¤J¤F«H®§论¡A学习Éó¾¹学习ªº¦P学们³£ª¾¹D¥Ø«eÉó¾¹学习¤¤¦³¤@个«D±`¦n¥Îªº¤À类ºâªk¥s³Ì¤jæi¤À类¾¹¡C­n·Q§âæi©M³Ì¤jæiªº来龙¥h脉说²M·¡¥i¤£®e©ö¡A§Æ±æ§Ú¦Z续¯à¦³时间¾ã²z¤@¤U¡C这条¹Dªº风´º¬O¬Û当独¯Sªº¡AE.T.Jaynes 对这条¹D¤]¬O°¾爱¦³¥[¡C

对¤_¤@个·§²v¤À¥¬ p(e), §Ú们©w义¥Lªºæi为



¦pªG给©w¤@个¤À¥¬¨ç数 f(x)ªº§¡­È \mu©M¤è®t\sigma^2(给©w§¡­È©M¤è®t这个条¥ó¡A¤]¥i¥H´y­z为给©w¤@阶­ì点¯x©M¤G阶­ì点¯x¡A这两个条¥ó¬Oµ¥É²ªº)则¦b©Ò¦³满¨¬这两个­­¨îªº·§²v¤À¥¬¤¤¡Aæi³Ì¤jªº·§²v¤À¥¬ p(e|\mu, \sigma^2)´N¬O¥¿态¤À¥¬ N(\mu, \sigma^2)¡C

(Todo: ´¡¤J证©ú)

E.T.Jaynes 显µM对¥¿态¤À¥¬¨ã¦³这样ªº©Ê质Ìå为赞赏¡A¦]为这从«H®§论ªº¨¤«×证©ú¤F¥¿态¤À¥¬ªºÉ¬¨}©Ê¡C¦Ó§Ú们¥i¥H¬Ý¨ì¡Aæiªº¤j¤p¡A¨ú决¤_¤è®tªº¤j¤p¡C 这¤]®e©ö²z¸Ñ¡A ¦]为¥¿态¤À¥¬ªº§¡­È©M±K«×¨ç数ªº§Î状无关¡A¦Óæiªº¤j¤p¤Ï应·§²v¤À¥¬¤¤ªº«H®§¶q¡A显µM©M±K«×¨ç数ªº§Î状¬Û关¡A¦Ó¥¿态¤À¥¬ªº§Î状¬O¥Ñ¨ä¤è®t决©wªº¡C

¦nªº¡A风´ºªY赏暂时§i¤@¬q¸¨¡C©Ò谓横¬Ý¦¨Ìd侧¦¨®p¡A远ªñ°ª§C¦U¤£¦P¡A¥¿态¤À¥¬给¤H们´£¨Ñ¤F¦hÏúªY赏¨¤«×©M·Q¶HªÅ间¡Cªk国µÐ萨级别ªº¤j数学®a庞¥[莱对¥¿态¤À¥¬说过¤@¬q¦³·N«äªº话¡A¤Þ¥Î来§@为这个¤p节ªº结§ô¡G

Physicists believe that the Gaussian law has been proved in mathematics while mathematicians think that it was experimentally established in physics.

¡X Henri Poincare - See more at: http://xinshidai.forumer.com/42- ... thash.4RrdWzO2.dpuf


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¥¿态¤À¥¬¬O¤@个¦t©zªº²z¡A¥ô¦ó随Éó过µ{¡A³£会Ê^现¥X¥¿态¤À¥¬¡C

¥¿态¤À¥¬²z论给¤F¡§¦U¥Á±Ú间¤@«ß¥­µ¥¡¨¤@记响«Gªº¦Õ¥ú¡C
凭¤°¤\让³¥蛮¸ò¤å©ú¬O¥­µ¥ªº¡H