¥Ñ¤_ºâ术¥§¡¬O¤@个历经¦Ò验ªº¤èªk¡A¦Ó¥H¤Wªº±À²z说©ú¡Aºâ术¥§¡¬O³Ì¤p¤G¼ªº¤@个¯S¨Ò¡A©Ò¥H从¥t¤@个¨¤«×说©ú¤F³Ì¤p¤G¼¤èªkªºÉ¬¨}©Ê¡A¨Ï§Ú们对³Ì¤p¤G¼ªk§ó¥[¦³«H¤ß¡C
³Ì¤p¤G¼ªk发ªí¤§¦Z«Ü§Ö±o¨ì¤F¤j®aªº认¥i±µ¨ü¡A¦}¨³³tªº¦b数Õu¤ÀªR实践¤¤³Q广ªx¨Ï¥Î¡C¤£过历¥v¤W¤S¦³¤H§â³Ì¤p¤G¼ªkªº发©ú归¥\¤_°ª´µ¡A这¤S¬O«ç¤\¤@¦^¨Æ©O¡C°ª´µ¦b1809¦~¤]发ªí¤F³Ì¤p¤G¼ªk¡A¦}¥B声称¦Û¤v¤w经¨Ï¥Î这个¤èªk¦h¦~¡C°ª´µ发©ú¤F¤p¦æ¬P©w¦ìªº数学¤èªk¡A¦}¦b数Õu¤ÀªR¤¤¨Ï¥Î³Ì¤p¤G¼¤èªk进¦æ计ºâ¡AãÚ̪º预测¤F¨¦¯«¬Pªº¦ì¸m¡C
§è¤F¥b¤Ñ³Ì¤p¤G¼ªk¡A没¬Ý¥X©M¥¿态¤À¥¬¦³¥ô¦ó关¨t°Ú¡AÖÃ题¤F§a¡H单´N³Ì¤p¤G¼ªk¥»¨¡A虽µM«Ü实¥Î¡A¤£过¬Ý¤W¥h§ó¦hªººâ¬O¤@个¥N数¤èªk¡A虽µM¥i¥H±À导¥X³Ìɬ¸Ñ¡A对¤_¸Ñªº误®t¦³¦h¤j¡A无ªk给¥X¦³®Äªº¤ÀªR¡A¦Ó这个´N¬O¥¿态¤À¥¬¯»¾¥µn场发挥§@¥Îªº¦a¤è¡C°Ç让¼w´£¥Xªº³Ì¤p¤G¼ªk¡AÚÌ实¬O¤@§â¦b数Õu¤ÀªR领°ì©Ü荆斩´Æªº¦n¤M¡A¦ý¬O¤M¤b还¬O¤£够锋§Q¡F¦Ó这§â¤Mªº¥´³y¦Z来¦Ü¤Ö¤@¥b¥\劳³Q归¨ì°ª´µ¡A¬O¦]为°ª´µ¤£单独¦Ûªº给¥X¤F³y¤Mªº¤èªk¡A¦Ó¥B§â³Ì¤p¤G¼这§â§Q¤Mªº¤M¤b³y±o无¤ñ锋§Q¡A§â³Ì¤p¤G¼¥´³y为¤F¤@§â·ç¤h军¤M¡C°ª´µ©Ý®i¤F³Ì¤p¤G¼ªk¡A§â¥¿态¤À¥¬©M³Ì¤p¤G¼ªk联¨t¦b¤@°_¡A¦}¨Ï±o¥¿态¤À¥¬¦b统计误®t¤ÀªR¤¤Ú̥ߤF¦Û¤vªº©w¦ì¡A§_则¥¿态¤À¥¬´N¤£会³Q称为°ª´µ¤À¥¬¤F¡C ¨º°ª´µ这¦ì¯«¤H¬O¦p¦ó§â¥¿态¤À¥¬¤Þ¤J¨ì误®t¤ÀªR¤§¤¤¡A¥´³y³Ì¤p¤G¼这§â·ç¤h军¤Mªº©O¡H¬Ý¤U¤@个¬G¨Æ¡C
¥|¡B众¨½寻¦o¤d¦Ê«×,误®t¤À¥¬¦±线ªºÚÌ¥ß
²Ä¤T个¬G¨Æ¦³点长¡A¥D¨¤¬O°ª´µ©M©Ô´¶©Ô´µ¡A¬G¨Æªº¥Dn内®e¬O²q测¤W«Òªº³yª«ªº¦®·N¡A寻§ä随Éó误®t¤À¥¬ªº规«ß¡C
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¦÷§Q²¤¦b¥LµÛ¦Wªº¡m关¤_两个¥Dn¥@¬É¨t统ªº对话¡n¤¤¡A对误®tªº¤À¥¬°µ过¤@¨Ç©w©Êªº´yz¡A¥Dn¥]¬A¡G
误®t¬O对称¤À¥¬ªº;
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¥Î数学ªº语¨¥´yz¡A¤]´N¬O说误®t¤À¥¬¨ç数 f(x)关¤_0对称¤À¥¬¡A·§²v±K«×随 |x|¼W¥[¦Ó减¤p¡A 这两个©w©Êªº´yz³£«Ü²Å¦X±`识¡C
许¦h¤Ñ¤å学®a©M数学®a开©l¤F寻§ä误®t¤À¥¬¦±线ªº尝试¡C Thomas Simpson (1710-1761) ¥ý¨«¥X¤F¦³·N义ªº¤@¨B¡C 设¯uÈ为 \theta, x_1, \cdots, x_n为n¦¸测¶qÈ, ¨C¦¸测¶qªº误®t为 e_i = x_i - \theta ¡A Y¥Îºâ术¥§¡ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} ¥h¦ô计\theta, ¨ä误®t为 \bar{e} = \frac{\sum_{i=1}^n e_i}{n} ¡C Simpson 证©ú¤F, 对¤_¦p¤Uªº¤@个·§²v¤À¥¬¡A
¡iSimpson ªº误®t态¤À¥¬¦±线¡j
¦³
¤]´N¬O说¡A|\bar{e}|¬Û¤ñ¤_|e_1|¨ú¤pȪºÉó会§ó¤j¡C Simpson ªº这个¤u§@«Ü²ÊÁW¡A¦ý¬O这¬O²Ä¤@¦¸¦b¤@个¯S©w±¡况¤U¡A从·§²v论ªº¨¤«×严®æ证©ú¤Fºâ术¥§¡ªºÉ¬¨}©Ê¡C
从 1772-1774 ¦~¡A ©Ô´¶©Ô´µ¤]¥[¤J¨ì¤F寻§ä误®t¤À¥¬¨ç数ªº队¥î¤¤¡C©Ô´¶©Ô´µ°²©w误®t¤À¥¬¨ç数f(x)满¨¬¦p¤U©Ê质
¥Ñ¦¹³Ì终¨D±oªº¤À¥¬¨ç数为
这个¨ç数现¦b³Q称为©Ô´¶©Ô´µ¤À¥¬¡C
¡iLaplace ªº误®t态¤À¥¬¦±线¡j
¥H这个¨ç数§@为误®t¤À¥¬¡A©Ô´¶©Ô´µ开©l¦Ò虑¦p¦ó°ò¤_测¶qªº结ªG¥h¦ô计¥¼ª¾参数ªºÈ¡C ©Ô´¶©Ô´µ¥i¥Hºâ¬O¤@个贝叶´µ¥D义ªÌ¡A¥Lªº参数¦ô计ªºì则©M现¥N贝叶´µ¤èªk«D±`¬Û¦ü¡A°²设¥ý验¤À¥¬¬O§¡匀ªº¡A 计ºâ¥X参数ªº¦Z验¤À¥¬¦Z¡A¨ú¦Z验¤À¥¬ªº¤¤È点¡A§Y1/2¤À¦ì点¡A§@为参数¦ô计È¡C¥i¬O°ò¤_这个误®t¤À¥¬¨ç数 °µ¤F¤@¨Ç计ºâ¤§¦Z¡A©Ô´¶©Ô´µ发现计ºâ过¤_Î`杂¡A³Ì终没¯à给¥X¤°¤\¦³¥Îªº结ªG¡C
©Ô´¶©Ô´µ¥i¬O·§²v论ªº¤j¤û¡A写过两¥»Ì妳¼v响¤Oªº¡m·§²v¤ÀªR²z论¡n¡A ¤£过¥H§Úªº数学审¬ü¡A实¦b无ªk²z¸Ñ©Ô´¶©Ô´µ这样ªº¤j¤û«ç¤\§ä¤F¤@个¹s点¤£¥i导ªº误®tªº¤À¥¬¨ç数¡A ©Ô´¶©Ô´µ³Ì终还¬O没¯à·d©w误®t¤À¥¬ªº问题¡C
现¦b轮¨ì°ª´µµn场¤F¡A°ª´µ¦b数学¥v¤¤ªº¦a¦ìÌå°ª¡A号称数学¥v¤Wªºª°¯W¡A数学®aªü贝尔对¥Lªº评论¬O "He is like the fox, who effaces his tracks in the sand with his tail." §Ú们ªº数学¤j师陈¬Ù¨§â¾¤°Ò©M庞¥[莱称为数学®a¤¤ªºµÐ萨¡A¦Ó称¦Û¤v为罗汉¡F°ª´µ¬O¾¤°Òªº导师¡A数学°é¨½¦³¨Ç±Ð±Â§â°ª´µ称为数学®a¤¤ªº¦ò¡C ¦b数学®a¤¤¤W¬J¯à¥õ±æ²z论数学ªº¬PªÅ¡A¤S¯à脚½ñ应¥Î数学ªº实¦aªº¥i¤£¦h见¡A °ª´µ¬O数学®a¤¤¤Ö¦³ªº顶¡¨¤Ñ¡§¥ß¡¨¦a¡§ªº¤Hª«¡A¥¦¬J对纯²z论数学¦³²`¨èªº¬}¹î¤O¡A¤SÌå¨ä«视数学¦b实践¤¤ªº应¥Î¡C ¦b误®t¤À¥¬ªº处²z¤¤¡A°ª´µ¥H¤Î¨ä简单ªº¤âªkÚ̥ߤF随Éó误®tªº·§²v¤À¥¬¡A¨ä结ªG¦¨为数²z统计发®i¥v¤Wªº¤@块¨½µ{¸O¡C
°ª´µªº¤¶¤Jº¥ýn从¤Ñ¤å学¬Éªº¤@个¨Æ¥ó说°_¡C1801¦~1¤ë¡A¤Ñ¤å学®aGiuseppe Piazzi发现¤F¤@颗从¥¼见过 ªº¥ú«×8µ¥ªº¬P¦b²¾动¡A 这颗现¦b³Q称§@¨¦¯«¬P¡]Ceres¡^ªº¤p¦æ¬P¦b©]ªÅ¤¤¥X现6个¬P´Á¡A扫过¤K«×¨¤¦Z¦b´N¦b¤Ó阳ªº¥ú¨~¤U没¤F踪¼v¡A无ªk观测¡C ¦Ó¯d¤Uªº观测数Õu¦³¡A难¥H计ºâ¥X¥Lªº轨¹D¡A¤Ñ¤å学®a¤]¦]¦¹无ªkÚÌ©w这颗·s¬P¬O±k¬P还¬O¦æ¬P¡A 这个问题«Ü§Ö¦¨¤F学术¬É关ª`ªºµJ点¡C°ª´µ当时¤w经¬O«Ü¦³¦W±æªº¦~轻数学®a¤F¡A 这个问题¤Þ°_¤F¥Lªº兴½ì¡C°ª´µ¥H¨ä¨ô¶Vªº数学¤~¯à创¥ß¤F¤@Ïú崭·sªº ¦æ¬P轨¹Dªº计ºâ¤èªk¡A¤@个¤p时¤§内´N计ºâ¥X¤F¦æ¬Pªº轨¹D¡A¦}预¨¥¤F¥L¦b©]ªÅ¤¤¥X现ªº时间©M¦ì¸m¡C 1801¦~12¤ë31¤é©]¡A¼w国¤Ñ¤å爱¦nªÌ奥§B´µ(Heinrich Olbers)¡A¦b°ª´µ预¨¥ªº时间¨½¡A¥Î±æ远镜对ã¤F这¤ù¤ÑªÅ¡C ªGµM¤£¥X©Ò®Æ¡A¨¦¯«¬P¥X现¤F¡I
°ª´µ为¦¹¦W声¤j¾_¡A¦ý¬O°ª´µ当时©Ú绝³zÅS计ºâ轨¹Dªº¤èªk¡Aì¦]¥i¯à¬O°ª´µ认为¦Û¤vªº¤èªkªº²z论°ò础还¤£够¦¨¼ô¡A ¦Ó°ª´µ¤@¦Vªv学严谨¡Bºë¯q¨Dºë¡A¤£轻©ö发ªí没¦³«ä¦Ò¦¨¼ôªº²z论¡Cª½¨ì1809¦~°ª´µ¨t统¦a§¹µ½¤F¬Û关ªº数学²z论¦Z¡A ¤~将¥Lªº¤èªk¤½¥¬¤_众¡A¦Ó¨ä¤¤¨Ï¥Îªº数Õu¤ÀªR¤èªk¡A´N¬O¥H¥¿态误®t¤À¥¬为°ò础ªº³Ì¤p¤G¼ªk¡C ¨º°ª´µ¬O¦p¦ó±À导¥X误®t¤À¥¬为¥¿态¤À¥¬ªº¡H让§Ú们¬Ý¬Ý°ª´µ¬O¦p¦ó²q测¤W«Òªº·N图ªº¡C
设¯uÈ为 \theta, x_1, \cdots, x_n为n¦¸独¥ß测¶qÈ, ¨C¦¸测¶qªº误®t为 e_i = x_i - \theta ¡A °²设误®te_iªº±K«×¨ç数为 f(e), 则测¶qȪº联¦X·§²v为n个误®tªº联¦X·§²v¡A记为
\begin{equation} L(\theta) = L(\theta;x_1,\cdots,x_n)=f(e_1)\cdots f(e_n) = f(x_1-\theta)\cdots f(x_n-\theta)\end{equation}
¦ý¬O°ª´µ¤£ªö¥Î贝叶´µªº±À²z¤è¦¡¡A¦Ó¬Oª½±µ¨úL(\theta)达¨ì³Ì¤jȪº \hat{\theta}=\hat{\theta}(x_1,\cdots,x_n)§@为\thetaªº¦ô计È¡A§Y
现¦b§Ú们§âL(\theta)称为样¥»ªº¦üµM¨ç数¡A¦Ó±o¨ìªº¦ô计È \hat{\theta}称为Ìå¤j¦üµM¦ô计¡C °ª´µº¦¸给¥X¤FÌå¤j¦üµMªº«ä·Q¡A这个«ä·Q¦Z来³Q统计学®a R.A.Fisher ¨t统ªº发®i¦¨为参数¦ô计¤¤ªºÌå¤j¦üµM¦ô计²z论¡C
°ª´µ±µ¤U来ªº·Qªk¯S别¤û¡A¥L开©l´¢«×¤W«Òªº·N图¡A¦Ó这¥R¤ÀÊ^现¤F°ª´µªº数学¤Ñ¤~¡C °ª´µ§â¾ã个问题ªº«ä¦Ò¼Ò¦¡Ë过来¡G¬JµM¤d¦Ê¦~来¤j®a³£认为ºâ术¥§¡ ¬O¤@个¦nªº¦ô计¡A¨º§Ú´N认为Ìå¤j¦üµM¦ô计导¥Xªº´N应该¬Oºâ术¥§¡¡I©Ò¥H°ª´µ²q测¤W«Ò¦b创¥@纪¤¤ªº¦®·N´N¬O¡G
误®t¤À¥¬导¥XªºÌå¤j¦üµM¦ô计 = ºâ术¥§¡È
µM¦Z°ª´µ¥h§ä误®t±K«×¨ç数 f¥Hªï¦X这¤@点¡C§Y寻§ä这样ªº·§²v¤À¥¬¨ç数 f, ¨Ï ±oÌå¤j¦üµM¦ô计¥¿¦n¬Oºâ术¥§¡ \hat{\theta} = \bar{x}¡C¦Ó°ª´µ应¥Î数学§Þ¥©¨D¸Ñ这个¨ç数f, °ª´µ证©ú(证©ú¤£难¡A¦Z续给¥X)¡A©Ò¦³ªº·§²v±K«×¨ç数¤¤¡A°ß¤@满¨¬这个©Ê质ªº´N¬O
Á@¡A¥¿态¤À¥¬ªº±K«×¨ç数 N(0, \sigma^2)³Q°ª´µ¥L¦Ñ¤H®a给¸Ñ¥X来¤F¡I
¡i¥¿态误®t态¤À¥¬«ß¡j
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